Bentuk-Bentuk Fungsional Model Regresi (Model Double Log dan Semi-Log)

Dalam bab-bab sebelumnya, model yang dipelajari merupakan model yang memiliki parameter dan variabel yang berbentuk linear (garis lurus). Keuntungan menggunakan model linear adalah modelnya sangat sederhana sehingga mudah untuk dianalisis. Meski demikian, terdapat kelemahan dari model linear yaitu sulit untuk menginterpretasikan intersep yang terkadang tidak sesuai dengan substansi permasalahan. Apabila tidak hati-hati dapat mengakibatkan interpretasi tidak sesuai dengan kondisi sesungguhnya.

     Misalkan dapat diambil contoh dari aplikasi model regresi linear terdahulu yang membahas hubungan antara pendapatan dan tabungan. Persamaan model regresi linear sederhana sebagai berikut:

              ...........................................................................    (1)
Di mana:

            Y menyatakan tabungan masyarakat (Rp)

            X menyatakan pendapatan per kapita (Rp)

Model regresi linear di atas memiliki kelemahan mendasar dalam menginterpretasikan intercept (β₁). Dapatkah dinyatakan bahwa apabila pendapatan per kapita bernilai nol maka tabungan masyarakat sebesar β₁ rupiah? Tentu saja hal tersebut merupakan kondisi yang tidak normal atau tidak sesuai dengan kondisi sesungguhnya. Pada kondisi normal, pendapatan tidak mungkin bernilai nol dan secara rasional masyarakat tidak mungkin menabung dengan pendapatan sebesar nilai nol. Dalam kasus tersebut, bukan berarti intercept tidak dapat diinterpretasikan. Intercept (β₁) tetap dapat diinterpretasikan dengan menyatakan bahwa jika pendapatan rendah maka capaian tabungan masyarakat sekitar β₁ rupiah.

Mencermati kelemahan yang dimiliki regresi linear maka pada bagian ini akan dipelajari bentuk-bentuk fungsi model regresi yang diharapkan mampu menutupi kelemahan regresi linear. Pada dasarnya, model fungsional yang akan dipelajari adalah model dengan parameter dan variabel yang tidak linear dan sangat sulit untuk dianalisis namun, dengan teknik transformasi logaritma kesulitan yang dihadapi biasanya dapat diatasi.

       Terdapat beberapa bentuk fungsional dalam model regresi namun pada bagian ini hanya akan dijelaskan dua jenis bentuk-bentuk fungsional dari model regresi, yaitu:

            1. Model log-log (double log/elastisitas konstan)

            2. Model Semi-log, yang terdiri dari:

                a. Model log-lin

                b. Model lin-log                 

 1. Model Log-Log

      Model log-log atau sering juga disebut model double log atau model elastisitas konstan merupakan salah satu hasil transformasi dari suatu model tidak linear menjadi model linear dengan cara membuat model dalam bentuk logaritma. Untuk memudahkan pemahaman, akan digunakan pendekatan empiris untuk menjabarkan proses transformasi sebagai berikut:

Menurut suatu teori ekonomi, hubungan antara kuantitas yang diminta dan harga suatu komoditas mempunyai bentuk sebagai berikut:

            ........................................................................................     (2)
di mana:

            Y          = permintaan komoditas

            X          = harga komoditas

            β₀, β₁     = Parameter

            u           = error

Dari bentuk modelnya tampak bahwa model tersebut bukanlah merupakan model regresi linear. Model tersebut merupakan model yang tidak linear baik variabel maupun paramaternya. Meski demikian, dengan teknik transformasi bentuk model tidak linear pada persamaan (2) dapat dimodifikasi sehingga parameternya berbentuk linear sehingga dapat diaplikasikan pada teori-teori ekonomi. 

Dengan teknik transformasi logaritma terhadap bentuk model regresi pada persamaan (2) akan menghasilkan model berikut:

       

        ................................................................       (3)

Terlihat bahwa model yang baru didefinisikan tersebut sesungguhnya merupakan model regresi linear dengan variabel dan parameter yang berbentuk linear. Dengan demikian, β₀ dan β1 dapat ditaksir dengan metode yang sama untuk mengestimasi parameter regresi linear sederhana, yaitu OLS (Ordinary Least Square).

Secara geometris, transformasi model yang semula variabel-nya tidak linear dapat digambarkan sebagai berikut:

Model log-log memiliki keunggulan jika dibandingkan dengan model linear. Salah satu keunggulan model tersebut terdapat pada koefisien slope β2 dalam model ln Y = β₁ + β₂ lnX. Sebab nilai koefisien slope tersebut sesungguhnya merupakan ukuran elastisitas Y terhadap X, atau dengan kata lain koefisien slope merupakan tingkat perubahan pada variabel Y (dalam persen) bila terjadi perubahan pada variabel X (dalam persen). Untuk kasus di atas, di mana Y menyatakan permintaan dan X menyatakan harga, maka β₂ merupakan elastisitas harga dari permintaan.

       Dalam model log-log koefisien elastisitas antara Y dan X selalu konstan. Artinya, jika ln X berubah 1 unit, perubahan ln Y akan selalu sama meskipun elastisitas tersebut diukur pada ln X yang mana saja. Oleh karena itu, model ini disebut juga model elastisitas konstan. Secara matematis, sifat koefisien elastisitas, β₂ yang konstan dapat dilihat sebagai berikut:

                                    ln Y = β1 + β₂ lnX

Elastisitas didefinisikan sebagai:

                                                               
Artinya, bila X (harga) naik sebesar 1%, maka Y (komoditas yang diminta) akan turun sebanyak β₂% (β₂ < 0). Dengan kalimat lain, bila harga komoditas naik sebesar 1%, maka permintaan terhadap komoditas tersebut akan turun sebesar β₂ %.

     Meski demikian, model log-log memiliki kelemahan di antaranya bahwa model log-log tidak dapat dibentuk dari data yang mempunyai nilai nol atau minus. Karena ketika ditransformasi ke bentuk logaritma, maka nilai nol atau minus akan menjadi tak terhingga. Mungkin pengolahan dengan komputer tetap akan mengeluarkan hasil namun hasilnya tidak dapat dipertanggungjawabkan kebenarannya.

(2) Model Semi-Log

         Prinsip model ini sama dengan log-log yaitu merupakan hasil transformasi dari model yang tidak linear. Bedanya, kalau pada model log-log transformasi dilakukan terhadap semua data variabel baik variabel terikat maupun variabel bebas sedangkan pada model semi-log, data yang ditransformasi hanya salah satu dari variabel terikat (X) atau variabel bebas.

Model semi-log terdiri atas dua jenis model, yaitu:

1. Model log-lin, yaitu suatu model di mana variabel Y dalam bentuk logaritma sedangkan variabel X berbentuk linear.Dengan demikian, persamaan dapat dituliskan sebagai  berikut:

      

                ............................................................................   (4)

    Persamaan (3) merupakan model dengan parameter linear sehingga estimasi dapat dilakukan dengan OLS. Pada model ini, interpretasi koefisien slope β1 merupakan rasio antara perubahan relatif variabel terikat (Y) terhadap perubahan absolut variabel bebas (X), yang dituliskan sebagai berikut:

                ......................................................  (5)          

      Model log-lin biasanya sangat berguna dan bermanfaat bila variabel X menyatakan tahun atau unit  waktu lain. Sementara itu, Y dapat menyatakan pengangguran, penduduk, keuntungan, penjualan, GNP  dan sebagainya. Oleh karena itu, β₂ merupakan suatu ukuran pertumbuhan (growth rate) bila β₁ > 0 atau merupakan suatu ukuran penyusutan (decay) bila β₁ < 0. Oleh karena itu, model ini disebut juga model       pertumbuhan.

2. Model lin-log, yaitu suatu model di mana variabel Y dalam bentuk linear sedangkan variabel X berbentuk logaritma.

Tweet